共通語の「かじる」（齧る）だと辞書では、「堅いものを切ったりむしったりしないで丸のまま歯でかみ切って食べる。」とあるが

遠州弁の「かじくる」は激し気味に爪で引っ掻くというもので意味としては別物ということになる。

共通語は「歯」だが遠州弁では主に「爪」という違いが大きい相違点である。

漢字にすると「掻じ繰る」とか「掻じ刳る」とかになりそうな雰囲気であるが正しいことは分からない。

「くる」ということで「繰り返し」といった意味合いもこもっていそうであり、「激しく」とか「強く」という以外にも「何度も」というニュアンスが「かじくる」にはこもっていそうな感じはする。
共通語に直すとしたら「かきむしる」ということになろうか。
ちなみに「激しくかきむしる」だと「かじくりまわす」とかいう言い方になる。

使い方例として

「蚊に喰われてばかかいくてもかじくらん方がいいに。」

　　（蚊に刺されて凄く痒くてもボリボリ掻かない方がいいよ。）

音声はこちら

痒いところを強く掻くという使い方で、「爪」ではなく「孫の手」とかな道具を用いて強く（もしくは何度も）掻いた場合に「かじくる」と言うかというと、無いとは言い切れないところなので「爪」限定とは決めつけられない。

なお、「ネズミがコードかじくったもんで断線した」とかいった言い方もあり、これは「齧繰る」で「齧り倒す」というものと邪推される。

そうなると、遠州弁には「齧繰る」というのと「掻じ繰る」という二種類の「かじくる」が存在するとというのが勘繰られる。
まあ、「かじる」の強調形と考えれば変な屁理屈こねなくともいいか。

こういう言い方は他だと「ほじる」を「ほじくる」というのが思い浮かぶが、これだと共通語っぽく思えるところ。